Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} \sin (x)$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Associez des termes.

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Additionnez $\cos (x) e^{x}$ et $e^{x} \cos (x)$ .

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Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Additionnez $e^{x} \cos (x)$ et $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + e^{x} \sin (x)$

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Additionnez $- e^{x} \sin (x)$ et $e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) + 0$

Additionnez $2 e^{x} \cos (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f''' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Associez des termes.

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Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Soustrayez $2 e^{x} \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

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Déplacez $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Soustrayez $2 e^{x} \sin (x)$ de $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Additionnez $- 2 e^{x} \cos (x)$ et $2 \cos (x) e^{x}$ .

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Déplacez $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Additionnez $- 2 e^{x} \cos (x)$ et $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Additionnez $- 4 e^{x} \sin (x)$ et $0$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$