Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Step 1

Écrivez $y = x^{\frac{2}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Step 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Step 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Step 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Step 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Step 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Step 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Step 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

La réponse finale est $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Placez ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

La réponse finale est $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Step 12