Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 3 x + 6$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [6]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$2 x - 3$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - 3 = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + \frac{d}{d x} (6)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3 + 0$

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 3 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{3}{2}$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2$

Step 9

$x = \frac{3}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{2}$ est un minimum local

Step 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3}{2}$ .

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Multipliez $- 3 (\frac{3}{2})$ .

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Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 6$

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 6$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 6$

Déterminez le dénominateur commun.

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Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Écrivez $6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Multipliez $\frac{6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6 \cdot 4}{4}$

Multipliez $6$ par $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 24}{4}$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 24}{4}$

Additionnez $- 9$ et $24$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{15}{4}$

La réponse finale est $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Step 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 3 x + 6$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$ est un minimum local

Step 12