Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 - x^{2}$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{2}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 2 x$

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x$ .

$- 2 x$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x = 0$

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $- 2$ .

$x = 0$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2$

Step 9

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Step 10

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 7 - {(0)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 7 - 0$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 7 + 0$

Additionnez $7$ et $0$ .

$f (0) = 7$

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Step 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 7 - x^{2}$ .

$(0, 7)$ est un maximum local

Step 12