Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Multipliez $12$ par $1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Additionnez $6 x^{2} - 18 x + 12$ et $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 18 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Additionnez $12 x - 18$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Additionnez $6 x^{2} - 18 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

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Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Factorisez $6$ à partir de $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Factorisez.

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Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2, 1$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (2) - 18$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Multipliez $12$ par $2$ .

$24 - 18$

Soustrayez $18$ de $24$ .

$6$

Step 10

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

Multipliez $12$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Soustrayez $36$ de $16$ .

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

Additionnez $- 20$ et $24$ .

$f (2) = 4 + 1$

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (2) = 5$

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (1) - 18$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Multipliez $12$ par $1$ .

$12 - 18$

Soustrayez $18$ de $12$ .

$- 6$

Step 14

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

Multipliez $12$ par $1$ .

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Soustrayez $9$ de $2$ .

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$f (1) = 5 + 1$

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (1) = 6$

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ .

$(2, 5)$ est un minimum local

$(1, 6)$ est un maximum local

Step 17