Calcul infinitésimal Exemples

$\sec (x)$

Step 1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Step 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{2} (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $\tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ .

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Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

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Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Associez des termes.

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Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Additionnez $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ et $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Step 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{3} (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Multipliez $\tan^{3} (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $\tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{3} (x)$ .

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Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Additionnez $1$ et $3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

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Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x) \tan (x))$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{3} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Multipliez $\sec^{3} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Additionnez $3$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)))$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 5 (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Associez des termes.

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Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

Réorganisez les facteurs de $3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$

Additionnez $3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ et $15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 18 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x)$