Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \cdot \cos (x)$

Step 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Step 8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Step 9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Step 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Step 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Step 12

Simplifiez

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Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$