Calcul infinitésimal Exemples

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Simplifiez

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Associez $\frac{1}{9}$ et $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Associez $t$ et $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Laissez $u = 9 t$ . Alors $d u = 9 d t$ , donc $\frac{1}{9} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Laissez $u = 9 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Différenciez $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9 t$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Multipliez $9$ par $1$ .

$9$

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

Associez $\tan (u)$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Simplifiez

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Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Réécrivez $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ comme $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$