Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

Simplifiez

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La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 π)$ .

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sin (0)}{2}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{2}$

Divisez $0$ par $2$ .

$0$