Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 5$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Factorisez par regroupement.

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Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Résolvez $3 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 5$

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Simplifiez le côté droit.

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Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{3}$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 4

Évaluez $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Évaluez sur $x = 1$ .

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Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Simplifiez

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 + 1 - 5 - 2$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 5 - 2$

Soustrayez $5$ de $2$ .

$- 3 - 2$

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- 5$

Évaluez sur $x = - \frac{5}{3}$ .

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Remplacez $x$ par $- \frac{5}{3}$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Simplifiez

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Simplifiez chaque terme.

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Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Multipliez $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Multipliez $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

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Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 2$

Associez $5$ et $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 2$

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 2$

Déterminez le dénominateur commun.

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Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 2$

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 2$

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 2$

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 2$

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1}$

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Multipliez $25$ par $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 2 \cdot 27}{27}$

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 54}{27}$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Additionnez $- 125$ et $75$ .

$\frac{- 50 + 225 - 54}{27}$

Additionnez $- 50$ et $225$ .

$\frac{175 - 54}{27}$

Soustrayez $54$ de $175$ .

$\frac{121}{27}$

Indiquez tous les points.

$(1, - 5), (- \frac{5}{3}, \frac{121}{27})$

Step 5