Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 6 x^{3}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Multipliez $3$ par $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 18 x^{2}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $12 x^{3} + 18 x^{2}$ .

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Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $12 x^{3}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} = 0$

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $18 x^{2}$ .

$6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3) = 0$

Factorisez $6 x^{2}$ à partir de $6 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} (3)$ .

$6 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Simplifiez le côté droit.

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Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x^{2} (2 x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Step 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - \frac{3}{2}$ .

$0, - \frac{3}{2}$

Step 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{3}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 2.5$ dans l’expression.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{3} + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 2.5$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot - 15.625 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Multipliez $12$ par $- 15.625$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 {(- 2.5)}^{2}$

Élevez $- 2.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 18 \cdot 6.25$

Multipliez $18$ par $6.25$ .

$f' (- 2.5) = - 187.5 + 112.5$

Additionnez $- 187.5$ et $112.5$ .

$f' (- 2.5) = - 75$

La réponse finale est $- 75$ .

$- 75$

Sur $x = - 2.5$ la dérivée est $- 75$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \frac{3}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.5, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 0.75$ dans l’expression.

$f' (- 0.75) = 12 {(- 0.75)}^{3} + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 0.75$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.75) = 12 \cdot - 0.421875 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Multipliez $12$ par $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 {(- 0.75)}^{2}$

Élevez $- 0.75$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 18 \cdot 0.5625$

Multipliez $18$ par $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 5.0625 + 10.125$

Additionnez $- 5.0625$ et $10.125$ .

$f' (- 0.75) = 5.0625$

La réponse finale est $5.0625$ .

$5.0625$

Sur $x = - 0.75$ la dérivée est $5.0625$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1.5, 0)$ .

Augmente sur $(- \frac{3}{2}, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (1) = 12 + 18 {(1)}^{2}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 12 + 18 \cdot 1$

Multipliez $18$ par $1$ .

$f' (1) = 12 + 18$

Additionnez $12$ et $18$ .

$f' (1) = 30$

La réponse finale est $30$ .

$30$

Sur $x = 1$ la dérivée est $30$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Step 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \frac{3}{2}, 0), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - \frac{3}{2})$

Step 9