Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x - 2$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 2$ .

$6 x - 2$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 2 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 2 = 0$

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 2$

Divisez chaque terme dans $6 x = 2$ par $6$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $6 x = 2$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $6$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{6}$

Simplifiez le côté droit.

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Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{6}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3}$

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 4

Évaluez $3 x^{2} - 2 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Évaluez sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Remplacez $x$ par $\frac{1}{3}$ .

$3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 (\frac{1}{3})$

Simplifiez

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Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{1}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{1}{9}) - 2 (\frac{1}{3})$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \frac{1}{3 (3)} - 2 (\frac{1}{3})$

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{3})$

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3})$

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{3}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

Associez les fractions.

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Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2}{3}$

Simplifiez l’expression.

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Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

Step 5