Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

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Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

Divisez chaque terme dans $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Divisez $6 x^{2} + x + 2$ par $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

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Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Soustrayez $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

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Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Soustrayez $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

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Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Soustrayez $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $- 47$ comme $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (47)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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