Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{a} (x)$

Step 1

Réécrivez $\log_{a} (x)$ en utilisant la formule du changement de base.

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Comme $\ln (x)$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ par rapport à $a$ est $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Réécrivez $\frac{1}{\ln (a)}$ comme $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{- 1}$ et $g (a) = \ln (a)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

La dérivée de $\ln (a)$ par rapport à $a$ est $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Associez les fractions.

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Associez $\frac{1}{a}$ et $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Placez $\ln^{- 2} (a)$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$