Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 1

Écrivez $y = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$

Step 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Step 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Step 5

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Step 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 12 x$ .

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Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Factorisez $12 x$ à partir de $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Factorisez.

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Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Step 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Step 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 - 12$

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12$

Step 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Step 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Step 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Multipliez $36$ par $1$ .

$36 - 12$

Soustrayez $12$ de $36$ .

$24$

Step 15

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Step 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2}$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1$

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6$

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (- 1) = - 3$

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Step 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Step 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$36 \cdot 1 - 12$

Multipliez $36$ par $1$ .

$36 - 12$

Soustrayez $12$ de $36$ .

$24$

Step 19

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Step 20

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2}$

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 6$

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (1) = - 3$

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Step 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(- 1, - 3)$ est un minimum local

$(1, - 3)$ est un minimum local

Step 22