Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (10 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 10 x$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

Différenciez.

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Associez $\frac{1}{10 x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Simplifiez les termes.

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Associez $10$ et $\frac{\ln (x)}{10 x}$ .

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

Associez $\ln (10 x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

Simplifiez

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Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x$ .

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$