Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Réécrivez $x^{2 \ln (x)}$ comme $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Développez $\ln (x^{2 \ln (x)})$ en déplaçant $2 \ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

Associez les fractions.

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Associez $\frac{1}{x}$ et $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

Associez $\frac{4}{x}$ et $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

Associez $e^{2 \ln^{2} (x)}$ et $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

Simplifiez le numérateur.

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Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Multipliez $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Simplifiez $4 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$