Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Multipliez $2$ par $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 144 x$ .

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Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Factorisez.

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Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Multipliez $4$ par $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Multipliez $- 144$ par $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Additionnez $- 1372$ et $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

La réponse finale est $- 364$ .

$- 364$

Sur $x = - 7$ la dérivée est $- 364$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 6)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Multipliez $- 144$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Additionnez $- 108$ et $432$ .

$f' (- 3) = 324$

La réponse finale est $324$ .

$324$

Sur $x = - 3$ la dérivée est $324$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 6, 0)$ .

Augmente sur $(- 6, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Multipliez $4$ par $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Multipliez $- 144$ par $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Soustrayez $432$ de $108$ .

$f' (3) = - 324$

La réponse finale est $- 324$ .

$- 324$

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 324$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 6)$ .

Diminue sur $(0, 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Multipliez $4$ par $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Multipliez $- 144$ par $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Soustrayez $1008$ de $1372$ .

$f' (7) = 364$

La réponse finale est $364$ .

$364$

Sur $x = 7$ la dérivée est $364$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Step 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 6, 0), (6, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10