Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - x^{- 2}$

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Step 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Step 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Step 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Résolvez $x$ .

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Prenez la racine carrée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Step 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{1}{x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Simplifiez le résultat.

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Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Simplifiez le résultat.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1$

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Step 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Step 9