Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Simplifiez le numérateur.

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Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

Associez $x^{- \frac{7}{4}}$ et $\frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{7}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

Placez $x^{- \frac{7}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- \frac{3}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

Multipliez $\frac{7}{4} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $\frac{7}{4}$ et $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

Soustrayez $4$ de $- 7$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

Associez $x^{- \frac{11}{4}}$ et $\frac{7}{4}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

Multipliez.

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Multipliez $7$ par $3$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

Multipliez $16$ par $4$ .

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

Placez $x^{- \frac{11}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $\frac{21}{64}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

Multipliez $\frac{11}{4} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez $\frac{11}{4}$ et $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

Soustrayez $4$ de $- 11$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

Associez $x^{- \frac{15}{4}}$ et $\frac{11}{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

Multipliez $\frac{21}{64}$ par $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

Multipliez.

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Multipliez $11$ par $21$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

Multipliez $64$ par $4$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

Placez $x^{- \frac{15}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ .

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$