Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Différenciez.

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Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Déplacez $2$ à gauche de $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 18 x$ .

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Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 18$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 18) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + (x - 18) \cdot 1) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Multipliez $x - 18$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + x - 18) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (2 u \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (2 (x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Simplifiez en factorisant.

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Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2} (2 x - 18)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Factorisez $x - 9$ à partir de $- 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) + (x - 9) (- 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{{(x - 9)}^{4}}$

Factorisez $x - 9$ à partir de $(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) + (x - 9) (- 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{{(x - 9)}^{4}}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18)}{{(x - 9)}^{3}}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Développez $(x - 9) (2 x - 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 18) - 9 (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Déplacez $- 18$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 \cdot x - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - 18 x - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $- 9$ par $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Multipliez $- 18$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} + 36 x$ .

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Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x + 162 + 0 + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Additionnez $- 36 x + 162$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x + 162 + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Additionnez $- 36 x$ et $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 162}{{(x - 9)}^{3}}$

Additionnez $0$ et $162$ .

$f'' (x) = \frac{162}{{(x - 9)}^{3}}$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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$f' (x) = \frac{(x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Différenciez.

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Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Déplacez $2$ à gauche de $x - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 9) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez l’expression.

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Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Simplifiez le numérateur.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 18 x$ .

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Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $- 18 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x - 18) = 0$

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Définissez $x - 18$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x - 18$ égal à $0$ .

$x - 18 = 0$

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 18) = 0$ vraie.

$x = 0, 18$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Résolvez $x$ .

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Définissez le $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 18$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{162}{{((0) - 9)}^{3}}$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez le dénominateur.

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Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{162}{{(- 9)}^{3}}$

Élevez $- 9$ à la puissance $3$ .

$\frac{162}{- 729}$

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Annulez le facteur commun à $162$ et $- 729$ .

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Factorisez $81$ à partir de $162$ .

$\frac{81 (2)}{- 729}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $81$ à partir de $- 729$ .

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot - 9}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot - 9}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- 9}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{9}$

Step 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 9}$

Simplifiez le résultat.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Divisez $0$ par $- 9$ .

$f (0) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 18$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{162}{{((18) - 9)}^{3}}$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez le dénominateur.

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Soustrayez $9$ de $18$ .

$\frac{162}{9^{3}}$

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{162}{729}$

Annulez le facteur commun à $162$ et $729$ .

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Factorisez $81$ à partir de $162$ .

$\frac{81 (2)}{729}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $81$ à partir de $729$ .

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 9}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 9}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9}$

Step 14

$x = 18$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 18$ est un minimum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = 18$ .

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Remplacez la variable $x$ par $18$ dans l’expression.

$f (18) = \frac{{(18)}^{2}}{(18) - 9}$

Simplifiez le résultat.

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Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$f (18) = \frac{324}{18 - 9}$

Soustrayez $9$ de $18$ .

$f (18) = \frac{324}{9}$

Divisez $324$ par $9$ .

$f (18) = 36$

La réponse finale est $36$ .

$y = 36$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(18, 36)$ est un minimum local

Step 17