Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez des termes.

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Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez des termes.

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Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} - 1 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 1$

Prenez la racine 4ème des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1$

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le numérateur.

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Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

La réponse finale est $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 1$

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

La réponse finale est $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ est un minimum local

$(- 1, \frac{4}{5})$ est un maximum local

Step 17