Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

Multipliez $2$ par $- 128$ .

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $4096$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4096$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 256 x + 0$

Additionnez $4 x^{3} - 256 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 256 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 256$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 256 x$ par rapport à $x$ est $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

Multipliez $- 256$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

Multipliez $2$ par $- 128$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $4096$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4096$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

Additionnez $4 x^{3} - 256 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 256 x$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 256 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 256 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $- 256 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ .

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 256$

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 256$

Soustrayez $256$ de $0$ .

$- 256$

Step 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

Multipliez $- 128$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 4096$

Additionnez $0$ et $4096$ .

$f (0) = 4096$

La réponse finale est $4096$ .

$y = 4096$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Multipliez $12$ par $64$ .

$768 - 256$

Soustrayez $256$ de $768$ .

$512$

Step 14

$x = - 8$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 8$ est un minimum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Multipliez $- 128$ par $64$ .

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $8192$ de $4096$ .

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

Additionnez $- 4096$ et $4096$ .

$f (- 8) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Multipliez $12$ par $64$ .

$768 - 256$

Soustrayez $256$ de $768$ .

$512$

Step 18

$x = 8$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 8$ est un minimum local

Step 19

Déterminez la valeur y quand $x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Multipliez $- 128$ par $64$ .

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $8192$ de $4096$ .

$f (8) = - 4096 + 4096$

Additionnez $- 4096$ et $4096$ .

$f (8) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ .

$(0, 4096)$ est un maximum local

$(- 8, 0)$ est un minimum local

$(8, 0)$ est un minimum local

Step 21