Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Step 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (0)$

Step 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$