Algèbre Exemples

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 1$ et $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Additionnez $6 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Réécrivez l’expression.

$2 + 2$

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Soustrayez $27$ de $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

La réponse finale est $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 + 2$

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ est un minimum local

$(- 1, 0)$ est un maximum local

Step 17