Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 0$

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $4$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Simplifiez le côté droit.

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Divisez $0$ par $4$ .

$x^{3} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0$

Multipliez $12$ par $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Simplifiez le résultat.

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Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32$

La réponse finale est $- 32$ .

$- 32$

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

Simplifiez le résultat.

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Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8$

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32$

La réponse finale est $32$ .

$32$

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11