Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & x & 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Step 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array}]$

Step 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{11} = | \begin{array}{c} 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{11} = 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{11} = 0 + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{11} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4)$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4)$

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- x - 1 \cdot 4)$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a_{11} = 0 + 0 - (- x - 4)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - (- x - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $0$ et $0$ .

$a_{11} = 0 - (- x - 4)$

Soustrayez $- x - 4$ de $0$ .

$a_{11} = - (- x - 4)$

Appliquez la propriété distributive.

$a_{11} = - - x - - 4$

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{11} = 1 x - - 4$

Multipliez $x$ par $1$ .

$a_{11} = x - - 4$

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$a_{11} = x + 4$

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{12} = | \begin{array}{c} 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{12} = 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} | - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$a_{12} = 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 (1 \cdot 0 - 2 \cdot - 1) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $0$ par $1$ .

$a_{12} = 4 (0 - 2 \cdot - 1) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$a_{12} = 4 (0 + 2) + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Additionnez $0$ et $2$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4)$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4)$

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- x - 1 \cdot 4)$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 + 0 - (- x - 4)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $4 \cdot 2$ et $0$ .

$a_{12} = 4 \cdot 2 - (- x - 4)$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $2$ .

$a_{12} = 8 - (- x - 4)$

Appliquez la propriété distributive.

$a_{12} = 8 - - x - - 4$

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{12} = 8 + 1 x - - 4$

Multipliez $x$ par $1$ .

$a_{12} = 8 + x - - 4$

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$a_{12} = 8 + x + 4$

Additionnez $8$ et $4$ .

$a_{12} = x + 12$

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{13} = | \begin{array}{c} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{13} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{13} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (4 \cdot - 1 - - 0)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - - 0)$

Multipliez $- - 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - 0)$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 + 0)$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{13} = 0 + 0 + 1 \cdot - 4$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a_{13} = 0 + 0 - 4$

Additionnez $0$ et $0$ .

$a_{13} = 0 - 4$

Soustrayez $4$ de $0$ .

$a_{13} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{14}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $1 s t$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{14} = | \begin{array}{c} 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{14} = 0 | \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{14} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{14} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (4 \cdot - 1 - - 0)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 - - 0)$

Multipliez $- - 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 - 0)$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - (- 4 + 0)$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{14} = 0 + 0 - - 4$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$a_{14} = 0 + 0 + 4$

Additionnez $0$ et $0$ .

$a_{14} = 0 + 4$

Additionnez $0$ et $4$ .

$a_{14} = 4$

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{21} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{21} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - - 3) + 0$

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 + 3) + 0$

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$a_{21} = 0 + 1 \cdot 1 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $1$ par $1$ .

$a_{21} = 0 + 1 + 0$

Additionnez $0$ et $1$ .

$a_{21} = 1 + 0$

Additionnez $1$ et $0$ .

$a_{21} = 1$

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{22} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{22} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 0 + 1 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $2$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 - - 3) + 0$

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{22} = 0 + 1 (4 + 3) + 0$

Additionnez $4$ et $3$ .

$a_{22} = 0 + 1 \cdot 7 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $7$ par $1$ .

$a_{22} = 0 + 7 + 0$

Additionnez $0$ et $7$ .

$a_{22} = 7 + 0$

Additionnez $7$ et $0$ .

$a_{22} = 7$

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{23} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{23} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{23} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - - - 1)$

Multipliez $- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1)$

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$a_{23} = 0 + 0 + 1 \cdot - 3$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$a_{23} = 0 + 0 - 3$

Additionnez $0$ et $0$ .

$a_{23} = 0 - 3$

Soustrayez $3$ de $0$ .

$a_{23} = - 3$

Calculate the minor for element $a_{24}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $2 n d$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{24} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{24} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{24} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{24} = 0 + 0 - | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - - - 1)$

Multipliez $- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - 1 \cdot 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{24} = 0 + 0 - (- 2 - 1)$

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$a_{24} = 0 + 0 - - 3$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{24} = 0 + 0 + 3$

Additionnez $0$ et $0$ .

$a_{24} = 0 + 3$

Additionnez $0$ et $3$ .

$a_{24} = 3$

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{31} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{31} = 0 | \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{31} = 0 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & x \end{array} |$ .

$a_{31} = 0 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 - - 3) + 0$

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{31} = 0 - 4 (- 2 + 3) + 0$

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$a_{31} = 0 - 4 \cdot 1 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a_{31} = 0 - 4 + 0$

Soustrayez $4$ de $0$ .

$a_{31} = - 4 + 0$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{31} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{32} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{32} = 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$ .

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 0 - 4 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $2$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 - - 3) + 0$

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{32} = 0 - 4 (4 + 3) + 0$

Additionnez $4$ et $3$ .

$a_{32} = 0 - 4 \cdot 7 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$a_{32} = 0 - 28 + 0$

Soustrayez $28$ de $0$ .

$a_{32} = - 28 + 0$

Additionnez $- 28$ et $0$ .

$a_{32} = - 28$

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{33} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $3 r d$ column by its cofactor and add.

$a_{33} = 0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$ .

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 0 - 4 (2 \cdot - 1 - - - 1) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - - - 1) + 0$

Multipliez $- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1) + 0$

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$a_{33} = 0 - 4 \cdot - 3 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$a_{33} = 0 + 12 + 0$

Additionnez $0$ et $12$ .

$a_{33} = 12 + 0$

Additionnez $12$ et $0$ .

$a_{33} = 12$

Calculate the minor for element $a_{34}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $3 r d$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{34} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ row by its cofactor and add.

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{34} = - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $- (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 - - 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$a_{34} = - 4 (- 2 + 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (2 \cdot - 1 - - - 1)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - - - 1)$

Multipliez $- - - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1 \cdot 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1)$

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x \cdot - 3$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $- 4 \cdot 1$ et $0$ .

$a_{34} = - 4 \cdot 1 - x \cdot - 3$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a_{34} = - 4 - x \cdot - 3$

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$a_{34} = - 4 + 3 x$

Calculate the minor for element $a_{41}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $1 s t$ column deleted.

$a_{41} = | \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $1 s t$ column by its cofactor and add.

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$ .

$a_{41} = - | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{41} = - (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$a_{41} = - (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$a_{41} = - (- x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a_{41} = - (- x - 4) + 0 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Associez les termes opposés dans $- (- x - 4) + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $- (- x - 4)$ et $0$ .

$a_{41} = - (- x - 4) + 0$

Additionnez $- (- x - 4)$ et $0$ .

$a_{41} = - (- x - 4)$

Appliquez la propriété distributive.

$a_{41} = - - x - - 4$

Multipliez $- - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a_{41} = 1 x - - 4$

Multipliez $x$ par $1$ .

$a_{41} = x - - 4$

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$a_{41} = x + 4$

Calculate the minor for element $a_{42}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $2 n d$ column deleted.

$a_{42} = | \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $1 s t$ row by its cofactor and add.

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{42} = 2 (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$a_{42} = 2 (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$a_{42} = 2 (- x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0$

Multipliez $0$ par $4$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0) + 0$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Additionnez $2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$ et $0$ .

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Appliquez la propriété distributive.

$a_{42} = 2 (- x) + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a_{42} = - 2 x + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$a_{42} = - 2 x - 8 - 3 \cdot - 4$

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$a_{42} = - 2 x - 8 + 12$

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$a_{42} = - 2 x + 4$

Calculate the minor for element $a_{43}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $3 r d$ column deleted.

$a_{43} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ column by its cofactor and add.

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{43} = 1 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$a_{43} = 1 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

Multipliez $0$ par $4$ .

$a_{43} = 1 (- 4 + 0) + 0 + 0$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{43} = 1 \cdot - 4 + 0 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a_{43} = - 4 + 0 + 0$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{43} = - 4 + 0$

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$a_{43} = - 4$

Calculate the minor for element $a_{44}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Consider the determinant with the $4 t h$ row and $4 t h$ column deleted.

$a_{44} = | \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{array} |$

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multiply every element in the $2 n d$ column by its cofactor and add.

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$ .

$a_{44} = 1 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{44} = 1 (4 \cdot 1 + 0 x) + 0 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $1$ .

$a_{44} = 1 (4 + 0 x) + 0 + 0$

Multipliez $0$ par $x$ .

$a_{44} = 1 (4 + 0) + 0 + 0$

Additionnez $4$ et $0$ .

$a_{44} = 1 \cdot 4 + 0 + 0$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $4$ par $1$ .

$a_{44} = 4 + 0 + 0$

Additionnez $4$ et $0$ .

$a_{44} = 4 + 0$

Additionnez $4$ et $0$ .

$a_{44} = 4$

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} x + 4 & - (x + 12) & - 4 & - 4 \\ - 1 & 7 & 3 & 3 \\ - 4 & 28 & 12 & - (- 4 + 3 x) \\ - (x + 4) & - 2 x + 4 & 4 & 4 \end{array}]$