Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x$

Step 1

Déterminez la matrice inverse.

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L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $| A |$ est le déterminant de $A$ .

Si $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ alors $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ .

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Ce sont les deux notations valides pour le déterminant d’une matrice.

$déterminant [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(7) (- 2) - 3 \cdot - 2$

Simplifiez le déterminant.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $7$ par $- 2$ .

$- 14 - 3 \cdot - 2$

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 14 + 6$

Additionnez $- 14$ et $6$ .

$- 8$

Remplacez les valeurs connues dans la formule pour l’inverse d’une matrice.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - (- 2) \\ - (3) & 7 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Réorganisez $- (- 2)$ .

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - (3) & 7 \end{array}]$

Réorganisez $- (3)$ .

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 7 \end{array}]$

Multipliez $\frac{1}{- 8}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{- 8} \cdot - 2 & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Réorganisez $\frac{1}{- 8} \cdot - 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Réorganisez $\frac{1}{- 8} \cdot 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Réorganisez $\frac{1}{- 8} \cdot - 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Réorganisez $\frac{1}{- 8} \cdot 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}]$

Step 2

En supposant que $X$ soit la matrice à résoudre, multipliez la matrice inverse par les deux côtés de l’équation.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 3

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 7 - \frac{1}{4} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 2 \\ \frac{3}{8} \cdot 7 - \frac{7}{8} \cdot 3 & \frac{3}{8} \cdot - 2 - \frac{7}{8} \cdot - 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

La multiplication de la matrice d’identité par toute matrice $x$ est la matrice $x$ .

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 4

Simplifiez le côté droit de l’équation.

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Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 25 - \frac{1}{4} \cdot 13 & \frac{1}{4} \cdot 13 - \frac{1}{4} \cdot 9 \\ \frac{3}{8} \cdot 25 - \frac{7}{8} \cdot 13 & \frac{3}{8} \cdot 13 - \frac{7}{8} \cdot 9 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

La matrice est la forme la plus simplifiée.

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$