Algèbre Exemples

$x^{5} - 4 x^{4} + 5 x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 8$

Step 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} + 5 x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 8$

Step 2

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(3 - 2)$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Step 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = {(- x)}^{5} - 4 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Step 4

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{5} x^{5} - 4 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} + 5 (- x^{3}) + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} - 5 x^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 2 (- x) - 8$

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} - 5 x^{3} + 9 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 2 (- x) - 8$

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} - 5 x^{3} + 9 (1 x^{2}) + 2 (- x) - 8$

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} + 2 (- x) - 8$

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- x) = - x^{5} - 4 x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x - 8$

Step 5

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Step 6

Le nombre possible de racines positives est $3$ ou $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Racines négatives : $2$ ou $0$