Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$

Step 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Additionnez $9 x^{2} - 4 x - 4$ et $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4 + 0$

Additionnez $18 x - 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 18 x - 4$

Step 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Step 4

Déterminez la dérivée première.

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Déterminez la dérivée première.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Additionnez $9 x^{2} - 4 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 4 x - 4$

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{2} - 4 x - 4$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4$

Step 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 4$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 4)}}{2 \cdot 9}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

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Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 36$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Additionnez $16$ et $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $160$ comme $4^{2} \cdot 10$ .

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Factorisez $16$ à partir de $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

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Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 36$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Additionnez $16$ et $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $160$ comme $4^{2} \cdot 10$ .

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Factorisez $16$ à partir de $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 9 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 4$ .

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Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36 \cdot - 4}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $- 36$ par $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{2 \cdot 9}$

Additionnez $16$ et $144$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $160$ comme $4^{2} \cdot 10$ .

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Factorisez $16$ à partir de $160$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 9}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 9}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 9}$

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{10}}{18}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{9}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Step 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$

Step 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$18 (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Annulez le facteur commun de $9$ .

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Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$9 (2) \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 2 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Réécrivez l’expression.

$2 (2 + 2 \sqrt{10}) - 4$

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (2 \sqrt{10}) - 4$

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 \sqrt{10} - 4$

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Soustrayez $4$ de $4$ .

$0 + 4 \sqrt{10}$

Additionnez $0$ et $4 \sqrt{10}$ .

$4 \sqrt{10}$

Step 10

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ est un minimum local

Step 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez chaque terme.

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Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2^{2}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot ((2 \cdot 2^{2}) \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Élevez $2$ à la puissance $1$ .

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{1 + 2} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{3} \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (8 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{10})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 {(2 \sqrt{10})}^{2} + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (2^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $6 (4 \cdot 10)$ .

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Multipliez $4$ par $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $6$ par $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + {(2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 2^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $10$ par $8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 24 \sqrt{10} + 240 + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $8$ et $240$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 24 \sqrt{10} + 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $24 \sqrt{10}$ et $80 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${(2 + 2 \sqrt{10})}^{2}$ comme $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Développez $(2 + 2 \sqrt{10}) (2 + 2 \sqrt{10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 + 2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 + 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} \cdot 2 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

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Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $4$ par $10$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $4$ et $40$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $4 \sqrt{10}$ et $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $- 2$ et $\frac{44 + 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $- 4$ et $\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Déterminez le dénominateur commun.

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Multipliez $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Multipliez $\frac{2 (44 + 8 \sqrt{10})}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Multipliez $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Multipliez $\frac{4 (2 + 2 \sqrt{10})}{9}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $3$ par $81$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $9$ par $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 2 (44 + 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 2$ par $44$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} + (- 88 - 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 88$ par $3$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 4 (2 + 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} + (- 8 - 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 8$ par $27$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $27$ par $- 8$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 3$ par $243$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 + 104 \sqrt{10} - 264 - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Simplifiez les termes.

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Soustrayez $264$ de $248$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Soustrayez $216$ de $- 16$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Soustrayez $729$ de $- 232$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 104 \sqrt{10} - 48 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Soustrayez $48 \sqrt{10}$ de $104 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 56 \sqrt{10} - 216 \sqrt{10}}{243}$

Soustrayez $216 \sqrt{10}$ de $56 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Réécrivez $- 961$ comme $- 1 (961)$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- 160 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (160 \sqrt{10})}{243}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (961) - (160 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 + 160 \sqrt{10})}{243}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

La réponse finale est $- \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$18 (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) - 4$

Step 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Simplifiez chaque terme.

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Annulez le facteur commun de $9$ .

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Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$9 (2) \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 2 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 4$

Réécrivez l’expression.

$2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 4$

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 4$

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 - 4 \sqrt{10} - 4$

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Soustrayez $4$ de $4$ .

$0 - 4 \sqrt{10}$

Soustrayez $4 \sqrt{10}$ de $0$ .

$- 4 \sqrt{10}$

Step 14

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ est un maximum local

Step 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

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Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{3} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez le résultat.

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Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la règle de produit à $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{729}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 (243)}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = 3 (\frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez chaque terme.

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Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 3 \cdot (4 (- 2 \sqrt{10})) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 + 12 (- 2 \sqrt{10}) + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 3 \cdot (2 {(- 2 \sqrt{10})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 {(- 2 \sqrt{10})}^{2} + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {\sqrt{10}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 4 \cdot 10 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 (4 \cdot 10) + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $6 (4 \cdot 10)$ .

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Multipliez $4$ par $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 6 \cdot 40 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $6$ par $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2 \sqrt{10})}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 {\sqrt{10}}^{3}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme ${(10^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{3}}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{1000}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

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Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{100 (10)}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 \sqrt{10^{2} \cdot 10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 8 (10 \sqrt{10})}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $10$ par $- 8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{8 - 24 \sqrt{10} + 240 - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $8$ et $240$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 24 \sqrt{10} - 80 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Soustrayez $80 \sqrt{10}$ de $- 24 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 {(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9})}^{2} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{9^{2}} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{{(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${(2 - 2 \sqrt{10})}^{2}$ comme $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Développez $(2 - 2 \sqrt{10}) (2 - 2 \sqrt{10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 (2 - 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} (2 - 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 + 2 (- 2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} \cdot 2 - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $- 2 \sqrt{10} (- 2 \sqrt{10})$ .

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Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 (\sqrt{10} \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {\sqrt{10}}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 4 \cdot 10}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Multipliez $4$ par $10$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{4 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} + 40}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Additionnez $4$ et $40$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 4 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Soustrayez $4 \sqrt{10}$ de $- 4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - 2 \frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $- 2$ et $\frac{44 - 8 \sqrt{10}}{81}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} + \frac{- 2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{(2) (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - 4 \frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9} - 3$

Associez $- 4$ et $\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} + \frac{- 4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Déterminez le dénominateur commun.

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Multipliez $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - (\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Multipliez $\frac{2 (44 - 8 \sqrt{10})}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} - 3$

Multipliez $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - (\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9} \cdot \frac{27}{27}) - 3$

Multipliez $\frac{4 (2 - 2 \sqrt{10})}{9}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} - 3$

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1}$

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{81 \cdot 3} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{3 \cdot 81} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $3$ par $81$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{9 \cdot 27} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $9$ par $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10}}{243} - \frac{2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3}{243} - \frac{4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27}{243} + \frac{- 3 \cdot 243}{243}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 2 (44 - 8 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Simplifiez chaque terme.

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Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 2 \cdot 44 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 2$ par $44$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 - 2 (- 8 \sqrt{10})) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} + (- 88 + 16 \sqrt{10}) \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 88 \cdot 3 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 88$ par $3$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 16 \sqrt{10} \cdot 3 - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 4 (2 - 2 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 4 \cdot 2 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 - 4 (- 2 \sqrt{10})) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} + (- 8 + 8 \sqrt{10}) \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 8 \cdot 27 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 8$ par $27$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 8 \sqrt{10} \cdot 27 - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $27$ par $8$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 3 \cdot 243}{243}$

Multipliez $- 3$ par $243$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{248 - 104 \sqrt{10} - 264 + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Simplifiez les termes.

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Soustrayez $264$ de $248$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 16 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} - 216 + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Soustrayez $216$ de $- 16$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 232 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10} - 729}{243}$

Soustrayez $729$ de $- 232$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 104 \sqrt{10} + 48 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Additionnez $- 104 \sqrt{10}$ et $48 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 - 56 \sqrt{10} + 216 \sqrt{10}}{243}$

Additionnez $- 56 \sqrt{10}$ et $216 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Réécrivez $- 961$ comme $- 1 (961)$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 + 160 \sqrt{10}}{243}$

Factorisez $- 1$ à partir de $160 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 \cdot 961 - (- 160 \sqrt{10})}{243}$

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (961) - (- 160 \sqrt{10})$ .

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = \frac{- 1 (961 - 160 \sqrt{10})}{243}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}) = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

La réponse finale est $- \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$ .

$y = - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243}$

Step 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 3$ .

$(\frac{2 + 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 + 160 \sqrt{10}}{243})$ est un minimum local

$(\frac{2 - 2 \sqrt{10}}{9}, - \frac{961 - 160 \sqrt{10}}{243})$ est un maximum local

Step 17