Algèbre Exemples

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Simplifiez

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Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Additionnez $25$ et $144$ .

$\sqrt{169}$

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$13$

Step 6

Déterminez les sommets.

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Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, 5)$

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, - 5)$

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Déterminez les foyers.

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Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, 13)$

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, - 13)$

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Déterminez l’excentricité.

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Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Simplifiez le numérateur.

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Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Additionnez $25$ et $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Déterminez le paramètre focal.

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Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{12^{2}}{13}$

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifiez $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Simplifiez l’expression.

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Additionnez $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ et $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Associez $\frac{5}{12}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifiez $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

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Simplifiez les termes.

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Additionnez $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ et $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Associez $x$ et $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{12}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Associez $\frac{- 5}{2}$ et $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(6, 0)$

Sommets : $(6, 5), (6, - 5)$

Foyers : $(6, 13), (6, - 13)$

Excentricité : $\frac{13}{5}$

Paramètre focal : $\frac{144}{13}$

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15