Algèbre Exemples

$y = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x - 1 = y$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x = y + 1$

Étape 3

Complétez le carré.

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = 0 = y + 1$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 2$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 3.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 3.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = y + 1$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{2 + 1}{2}$

Étape 4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{3}{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{3}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} = y + \frac{3}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez ${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ par $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Pour écrire $\frac{y}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}$

Étape 6.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{y}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{y \cdot 2 + 3}{4}$

Étape 6.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{2 y + 3}{4}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (2 y + 3)$