Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 1

Affectez un nom $A$ à la matrice afin de simplifier les descriptions tout au long du problème.

$A = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 2

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

Soustrayez la valeur propre fois la matrice d’identité de la matrice d’origine.

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Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Réorganisez $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Simplifiez chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$ .

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Simplifiez $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Simplifiez $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Step 5

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$ .

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Ce sont les deux notations valides pour le déterminant d’une matrice.

$déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Simplifiez le déterminant.

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Simplifiez chaque terme.

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Développez $(4 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $4$ par $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 3 \cdot 2$

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 3 \cdot 2$

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Soustrayez $λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Soustrayez $6$ de $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Step 6

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Step 7

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Step 8

Déterminez les racines de $λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$ en résolvant $λ$ .

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Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Additionnez $25$ et $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Additionnez $25$ et $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Additionnez $25$ et $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Step 9

Le vecteur propre pour $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité.

$ε_{A} (\frac{5 + \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 11

Simplifiez l’expression de la matrice.

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Multipliez $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Réorganisez $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

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Simplifiez $4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 12

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x_{1} - \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 14

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

${(\frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

Exprimez le vecteur comme une combinaison linéaire de vecteur colonne utilisant les propriétés de l’ajout de colonnes vecteurs.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 17

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

Le vecteur propre pour $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ est égal à l’espace nul de la matrice moins la valeur propre fois la matrice d’identité.

$ε_{A} (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 20

Simplifiez l’expression de la matrice.

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Multipliez $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réorganisez $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Réorganisez $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

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Simplifiez $4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Simplifiez $1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 21

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x_{1} - \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 23

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

${(\frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

Exprimez le vecteur comme une combinaison linéaire de vecteur colonne utilisant les propriétés de l’ajout de colonnes vecteurs.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 26

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

L’espace propre de $A$ est l’union de l’espace de vecteur de chaque valeur propre.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 28