Algèbre Exemples

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

Step 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Step 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 \sin (x) \cos (y)$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = \sin (x)$ et $g (y) = \cos (y)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

La dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (y)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = x$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]))$

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]))$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]))$

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \cos (x) x')$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$2 (\sin (x) (- \sin (y))) + 2 (\cos (y) \cos (x) x')$

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (y) \cos (x) x'$

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$

Step 3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Step 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x' = 0$

Step 5

Résolvez $x'$ .

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Simplifiez le côté gauche.

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Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 x' \cos (x) \cos (y) = 0$

Ajoutez $2 \sin (x) \sin (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

Divisez chaque terme dans $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ par $2 \cos (x) \cos (y)$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ par $2 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Simplifiez le côté droit.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Séparez les fractions.

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Convertissez de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ à $\tan (y)$ .

$x' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \tan (y) \tan (x)$