Algèbre Exemples

$\ln (2 x)$

Step 1

Interchangez les variables.

$x = \ln (2 y)$

Step 2

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $\ln (2 y) = x$ .

$\ln (2 y) = x$

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

Réécrivez $\ln (2 y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 2 y$

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $2 y = e^{x}$ .

$2 y = e^{x}$

Divisez chaque terme dans $2 y = e^{x}$ par $2$ et simplifiez.

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Divisez chaque terme dans $2 y = e^{x}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Simplifiez le côté gauche.

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Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (2 x)$ .

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Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Évaluez $f^{- 1} (\ln (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Évaluez $f (\frac{e^{x}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$