Algèbre Exemples

$\ln (| \ln (5 x) |)$

Step 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | \ln (5 x) |$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| \ln (5 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| \ln (5 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

Step 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = \ln (5 x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

Step 3

Multipliez $\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) |}$ par $\frac{1}{| \ln (5 x) |}$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) | | \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 5

Élevez $\ln (5 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{1} (5 x) \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 6

Élevez $\ln (5 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{1} (5 x) \ln^{1} (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (5 x)}{| {\ln (5 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Step 10

Différenciez.

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Multipliez $\frac{1}{5 x}$ par $\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |}$ .

$\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [5 x]$

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Simplifiez les termes.

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Associez $5$ et $\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |}$ .

$\frac{5 \ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |} \cdot 1$

Multipliez $\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |}$ par $1$ .

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |}$

Step 11

Simplifiez

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Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{\ln (5 x)}{x \ln^{2} (5 x)}$

Annulez le facteur commun à $\ln (5 x)$ et $\ln^{2} (5 x)$ .

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Multipliez par $1$ .

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (5 x)}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $\ln (5 x)$ à partir de $x \ln^{2} (5 x)$ .

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{\ln (5 x) (x \ln (5 x))}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{\ln (5 x) (x \ln (5 x))}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (5 x)}$