Algèbre Exemples

$\tan (75)$

Step 1

La valeur exacte de $\tan (75)$ est $2 + \sqrt{3}$ .

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Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\tan (30 + 45)$

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction complexe par $3$ .

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Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Associez.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Simplifiez le dénominateur.

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Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Simplifiez le numérateur.

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Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Step 2

L’expression est constante, ce qui signifie qu’elle peut être réécrite avec un facteur de $x^{0}$ . Le degré est le plus grand exposant sur la variable.

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