Algèbre Exemples

$- 2 + \ln (x)$

Step 1

Interchangez les variables.

$x = - 2 + \ln (y)$

Step 2

Résolvez $y$ .

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Réécrivez l’équation comme $- 2 + \ln (y) = x$ .

$- 2 + \ln (y) = x$

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (y) = x + 2$

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{x + 2}$

Réécrivez $\ln (y) = x + 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = y$

Réécrivez l’équation comme $y = e^{x + 2}$ .

$y = e^{x + 2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$

Step 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

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Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Évaluez $f^{- 1} (- 2 + \ln (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{(- 2 + \ln (x)) + 2}$

Associez les termes opposés dans $(- 2 + \ln (x)) + 2$ .

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Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Additionnez $0$ et $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = x$

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Évaluez $f (e^{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + \ln (e^{x + 2})$

Simplifiez chaque terme.

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Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 2$ de l’exposant.

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \ln (e)$

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \cdot 1$

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + x + 2$

Associez les termes opposés dans $- 2 + x + 2$ .

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Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (e^{x + 2}) = x + 0$

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (e^{x + 2}) = x$

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$