Trigonometría Ejemplos

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

Step 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Reescribe la ecuación como $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ .

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - y}$ como ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Simplifica.

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Aplica la propiedad distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

Resta $x$ de $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

Resuelve $y$

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Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

Resta $4$ de $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

Divide cada término en $- y = x^{2} - 2 x - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- y = x^{2} - 2 x - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 x)$ como $- (- 2 x)$ .

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Simplifica cada término.

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Reescribe ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ como $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Expande $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Eleva $\sqrt{4 - x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Eleva $\sqrt{4 - x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Reescribe ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ como $4 - x$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Suma $4$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Suma $\sqrt{4 - x}$ y $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Simplifica.

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Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

Multiplica $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

Simplifica mediante la adición de términos.

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Combina los términos opuestos en $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

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Suma $- 2 \sqrt{4 - x}$ y $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

Suma $- 5 + x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

Suma $- 5$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Simplifica.

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Multiplica $- - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

Resta $3$ de $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Reescribe el polinomio.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$