Trigonometría Ejemplos

$25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$

Step 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Completa el cuadrado de $25 x^{2} + 100 x$ .

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Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Factoriza $2$ de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{50}{25}$

Cancela el factor común de $50$ y $25$ .

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Factoriza $25$ de $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica cada término.

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Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Divide $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Resta $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Sustituye $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ por $25 x^{2} + 100 x$ en la ecuación $25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 4 y^{2} = 0$

Mueve $- 100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 0 + 100$

Suma $0$ y $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 100$

Divide cada término por $100$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{4 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Step 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Step 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = - 2$

Step 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Simplifica.

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Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Resta $4$ de $25$ .

$\sqrt{21}$

Step 5

Obtén los focos.

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El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2, 0 + \sqrt{21})$

Simplifica.

$(- 2, \sqrt{21})$

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 2, 0 - (\sqrt{21}))$

Simplifica.

$(- 2, - \sqrt{21})$

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

Step 6