Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

Step 1

Establece $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ igual a $0$ .

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

Step 2

Resuelve $x$

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Factoriza $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4 q = \pm 1, \pm 3$

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Sustituye $- 0.\overline{6}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{6}$ es una raíz del polinomio.

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Sustituye $- 0.\overline{6}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Eleva $- 0.\overline{6}$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Eleva $- 0.\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Multiplica $- 16$ por $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Resta $7.11111111$ de $- 0.\overline{8}$ .

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Multiplica $- 30$ por $- 0.\overline{6}$ .

$- 8 + 20 - 12$

Suma $- 8$ y $20$ .

$12 - 12$

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Como $- 0.\overline{6}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

Divide $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ por $3 x + 2$ .

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Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x - 6$

Escribe $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Establece $x^{2} - 6 x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x^{2} - 6 x - 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Resuelve $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ en $x$ .

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Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Suma $36$ y $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Factoriza $4$ de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Simplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Step 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

Step 4