Trigonometría Ejemplos

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$

Step 1

Factoriza $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4 q = \pm 1$

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{4} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 8$

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$16 - 16 - 4 \cdot 2 + 8$

Resta $16$ de $16$ .

$0 - 4 \cdot 2 + 8$

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$0 - 8 + 8$

Resta $8$ de $0$ .

$- 8 + 8$

Suma $- 8$ y $8$ .

$0$

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}$

Divide $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ por $x - 2$ .

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Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x + 8$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4$

Escribe $x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4)$

Step 2

Multiplica $0$ por $x$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 - 4)$

Step 3

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} - 4)$