Trigonometría Ejemplos

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

Step 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

Combina $\frac{2}{3}$ y $\sin (t)$ .

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

Step 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

Simplifica.

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Combina $\cos (t)$ y $\frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

Step 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

Step 4

Establece el numerador igual a cero.

$2 \sin (t) = 0$

Step 5

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Divide cada término en $2 \sin (t) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (t) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$\sin (t) = 0$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$t = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$t = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$t = π$

La solución a la ecuación $t = 0$ .

$t = 0, π$

Step 6

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

Step 7

Evalúa la segunda derivada.

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El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Step 8

$t = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$t = 0$ es un máximo local

Step 9

Obtén el valor de y cuando $t = 0$ .

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Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

Simplifica el resultado.

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El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

La respuesta final es $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Step 10

Evalúa la segunda derivada en $t = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

Step 11

Evalúa la segunda derivada.

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Simplifica el numerador.

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Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2}{3}$

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Step 12

$t = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$t = π$ es un mínimo local

Step 13

Obtén el valor de y cuando $t = π$ .

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Reemplaza la variable $t$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

Simplifica el resultado.

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$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (π) = - \frac{2}{3}$

La respuesta final es $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Step 14

Estos son los extremos locales de $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ .

$(0, \frac{2}{3})$ es un máximo local

$(π, - \frac{2}{3})$ es un mínimo local

Step 15