Trigonometría Ejemplos

$x^{4} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $x$ de $x^{4} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x$ .

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Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

Factoriza $x$ de $- 54 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (- 54 x) + 120 x = 0$

Factoriza $x$ de $120 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (- 54 x) + x \cdot 120 = 0$

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{3} + x^{2}) + x (- 54 x) + x \cdot 120 = 0$

Factoriza $x$ de $x (x^{3} + x^{2}) + x (- 54 x)$ .

$x (x^{3} + x^{2} - 54 x) + x \cdot 120 = 0$

Factoriza $x$ de $x (x^{3} + x^{2} - 54 x) + x \cdot 120$ .

$x (x^{3} + x^{2} - 54 x + 120) = 0$

Factoriza.

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Factoriza $x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12 q = \pm 1$

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Sustituye $5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $5$ es una raíz del polinomio.

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Sustituye $5$ en el polinomio.

$5^{3} + 5^{2} - 54 \cdot 5 + 120$

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 + 5^{2} - 54 \cdot 5 + 120$

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$125 + 25 - 54 \cdot 5 + 120$

Suma $125$ y $25$ .

$150 - 54 \cdot 5 + 120$

Multiplica $- 54$ por $5$ .

$150 - 270 + 120$

Resta $270$ de $150$ .

$- 120 + 120$

Suma $- 120$ y $120$ .

$0$

Como $5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 54 x + 120}{x - 5}$

Divide $x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ por $x - 5$ .

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Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$54 x$

$120$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} - 30 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 24 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							-	$24 x$	+	$120$

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 24 x + 120$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							+	$24 x$	-	$120$

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							+	$24 x$	-	$120$
										$0$

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 6 x - 24$

Escribe $x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ como un conjunto de factores.

$x ((x - 5) (x^{2} + 6 x - 24)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 5) (x^{2} + 6 x - 24) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 6 x - 24 = 0$

Step 3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Step 4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Step 5

Establece $x^{2} + 6 x - 24$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x^{2} + 6 x - 24$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 x - 24 = 0$

Resuelve $x^{2} + 6 x - 24 = 0$ en $x$ .

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Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = - 24$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 24)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 24$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 96}}{2 \cdot 1}$

Suma $36$ y $96$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

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Factoriza $4$ de $132$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{33}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 5) (x^{2} + 6 x - 24) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5, - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

Step 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 0, 5, - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

Forma decimal:

$x = 0, 5, 2.74456264 \dots, - 8.74456264 \dots$

Step 8