Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ .

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 y) - x = 0$

Resuelve $y$

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Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 y) = x$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$2 y = \arccos (x)$

Divide cada término en $2 y = \arccos (x)$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 y = \arccos (x)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ es la inversa de $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ y $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Expande $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Simplifica los términos.

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Combina los términos opuestos en $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ .

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Reordena los factores en los términos $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ y $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Suma $- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ y $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Suma $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ y $0$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Simplifica cada término.

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Multiplica $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

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Eleva $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Eleva $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

Multiplica $- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

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Eleva $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Eleva $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ es la inversa de $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$