Trigonometría Ejemplos

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Paso 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el tercer cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de tangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\tan (θ) = \frac{opuesto}{adyacente}$

Paso 3

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{4 + 1}$

Paso 5.3

Suma $4$ y $1$ .

Hipotenusa $= \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de $\sin (θ)$ .

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 6.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 6.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 6.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 6.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 6.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 6.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 7

Obtén el valor del coseno.

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Paso 7.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\cos (θ)$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\sec (θ)$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

Paso 9.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$