Trigonometría Ejemplos

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $8 \sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Step 2

Simplifica $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

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Suma $- 24 \sin (θ)$ y $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Resta $6$ de $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Step 3

Reemplaza $9 \cos^{2} (θ)$ con $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Step 4

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Step 5

Resta $16$ de $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Step 6

Reordena el polinomio.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Step 7

Sustituye $u$ por $\sin (θ)$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Step 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ y cuya suma es $b = 16$ .

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Factoriza $16$ de $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Reescribe $16$ como $7$ más $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Step 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Step 10

Establece $9 u + 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $9 u + 7$ igual a $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Resuelve $9 u + 7 = 0$ en $u$ .

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Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$9 u = - 7$

Divide cada término en $9 u = - 7$ por $9$ y simplifica.

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Divide cada término en $9 u = - 7$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $9$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{7}{9}$

Step 11

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Step 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Step 13

Sustituye $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Step 14

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Step 15

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $360$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $180$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $360 °$ de $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

El ángulo resultante de $231.05755873 °$ es positivo, menor que $360 °$ y coterminal con $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Suma $360$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $360$ y $- 51.05755873$ para obtener el ángulo positivo.

$- 51.05755873 + 360$

Resta $51.05755873$ de $360$ .

$308.94244126$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 308.94244126$

El período de la función $\sin (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Resuelve $θ$ en $\sin (θ) = - 1$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- 90$ .

$θ = - 90$

$θ = 360 + 90 + 180$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $360 °$ de $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

El ángulo resultante de $270 °$ es positivo, menor que $360 °$ y coterminal con $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

Suma $360$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $360$ y $- 90$ para obtener el ángulo positivo.

$- 90 + 360$

Resta $90$ de $360$ .

$270$

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = 270$

El período de la función $\sin (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 17

Enumera todas las soluciones.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 18

Consolida $270 + 360 n$ y $270 + 360 n$ en $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$