Trigonometría Ejemplos

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $4 \sin (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $- 17 \sin (θ)$ y $4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Resta $9$ de $14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Factoriza $- 13$ de $- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Reescribe $- 13$ como $- 3$ más $- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Step 5

Establece $2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Resuelve $2 \sin (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (θ) = 1$

Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $30$ .

$θ = 30$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = 180 - 30$

Resta $30$ de $180$ .

$θ = 150$

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{360}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{360}{1}$

Divide $360$ por $1$ .

$360$

El período de la función $\sin (θ)$ es $360$ , por lo que los valores se repetirán cada $360$ grados en ambas direcciones.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $3 \sin (θ) - 5$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Establece $3 \sin (θ) - 5$ igual a $0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Resuelve $3 \sin (θ) - 5 = 0$ en $θ$ .

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Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \sin (θ) = 5$

Divide cada término en $3 \sin (θ) = 5$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 \sin (θ) = 5$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{5}{3}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ verdadera.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , para cualquier número entero $n$