Trigonometría Ejemplos

$\csc (θ) = 5$ with $\frac{π}{2} < θ < π$

Step 1

Usa la definición de cosecante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{opuesto}$

Step 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Step 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Step 4

Simplifica dentro del radical.

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Haz que $\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$ sea negativo.

Adyacente $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= - \sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Adyacente $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

Adyacente $= - \sqrt{25 - 1}$

Resta $1$ de $25$ .

Adyacente $= - \sqrt{24}$

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Factoriza $4$ de $24$ .

Adyacente $= - \sqrt{4 (6)}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

Adyacente $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Retira los términos de abajo del radical.

Adyacente $= - (2 \sqrt{6})$

Multiplica $2$ por $- 1$ .

Adyacente $= - 2 \sqrt{6}$

Step 5

Obtén el valor del seno.

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Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Step 6

Obtén el valor del coseno.

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Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Step 7

Obtén el valor de la tangente.

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Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

Simplifica el valor de $\tan (θ)$ .

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (θ) = - \frac{1}{(2) \sqrt{6}}$

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Mueve $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Evalúa el exponente.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

Step 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

Divide $- 2 \sqrt{6}$ por $1$ .

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

Step 9

Obtén el valor de la secante.

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Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Simplifica el valor de $\sec (θ)$ .

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (θ) = - \frac{5}{(2) \sqrt{6}}$

Multiplica $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Mueve $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Evalúa el exponente.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Multiplica $2$ por $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Step 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$