Trigonometría Ejemplos

$\csc (θ) = 4$ , $\cot (θ) < 0$

Paso 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solución está en el segundo cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de cosecante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\csc (θ) = \frac{hipotenusa}{opuesto}$

Paso 3

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Haz que $\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ sea negativo.

Adyacente $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

Adyacente $= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Adyacente $= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

Adyacente $= - \sqrt{16 - 1}$

Paso 5.5

Resta $1$ de $16$ .

Adyacente $= - \sqrt{15}$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

Paso 7

Obtén el valor del coseno.

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Paso 7.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Paso 8

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

Paso 8.3

Simplifica el valor de $\tan (θ)$ .

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 8.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

Paso 8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Paso 9

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 9.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

Paso 9.3

Divide $- \sqrt{15}$ por $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

Paso 10

Obtén el valor de la secante.

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Paso 10.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Paso 10.3

Simplifica el valor de $\sec (θ)$ .

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Paso 10.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Paso 10.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.3.3.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 10.3.3.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 10.3.3.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Paso 10.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Paso 10.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Paso 10.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 10.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Paso 10.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$